Человек изобрел число для того, чтобы как-то обозначать для себя и других результаты счета и измерения. Видимо, первые понятия о числе у людей появились еще в эпоху палеолита, но развились уже в неолите. Первой ступенькой в появлении чисел, видимо, стало осознание разделения меры на «один» и «много».
В Древнем мире впервые стали применяться специальные знаки для обозначения чисел: их изображения сохранились на глиняных табличках Междуречья, на египетских папирусах и так далее.
Математика развивалась дальше. И в различных странах стали формироваться свои особые, аутентичные и заметно отличные от прочих системы счисления. Даже школьнику сейчас известно, чем отличалось римское написание цифр и арабское. Цифры передавались из страны в страну, из культуры в культуру, как важное и ценное изобретение и наследие. Современные цифры, на которых построена как славянская, так и западная цивилизация – это цифры арабские, но заимствованные из Индии. Многие цифры, знакомые сейчас каждому, изобретены были в Индии, к примеру, цифра «0».
Деление чисел на положительные и отрицательные относится уже к разработкам математиков Средних веков. Опять-таки, отрицательные числа впервые стали применяться в Индии. Так купцам проще было рассчитывать убытки и долги. На то время арифметика уже была весьма разработанной прикладной сферой, и в свое развитие вступала алгебра. С введением Декартовой геометрии, его системы координат отрицательные числа прочно вошли в употребление. Отсюда они не выходят и по сей день.
Комплексные числа – это современное понятие, таковые числа зовутся еще «мнимыми числами» и выведены из формального решения кубических и квадратных уравнений. Их «отцом» был средневековый математик Джероламо Кардано. Во времена Декарта комплексные числа, как и отрицательные, прочно вошли в математический обиход.
Рассмотрим, что такое отрицательные числа. Они входят во множество натуральных чисел и используются в математике для того, чтобы сделать вычитание такой же полноценной операцией, как и сложение. То есть, благодаря введению отрицательных чисел стало возможным не только вычитать из большего меньшее, но и наоборот. Все отрицательные числа меньше ноля и любого положительного числа. Они находятся на привычной всем оси координат слева от ноля. С отрицательными числами можно выполнять все те же арифметические действия, что и с положительными.
Особенности действий с отрицательными числами:
- произведения отрицательного числа на отрицательное будет положительным;
- произведение положительного на отрицательное будет отрицательным;
- при делении с остатком отрицательных чисел (или отрицательного и положительного числа) частное может отрицательными или положительным, остаток - всегда положительный.
Из истории отрицательных чисел
В античном мире (Древний Египет, Греция, Вавилон) отрицательные числа не использовались и отвергались как невозможные. Впервые их начали применять в Индии и Китае с 7 века нашей эры для обозначения долгов или недостачи в торговле. Но действия с отрицательными числами не были упорядочены. Индийский математик Брахмагупта начал рассматривать действия умножение и деление с ними чуть позже.
Пример использования отрицательного числа:
У купца было 10000 рублей. Он закупил товары на 8000. В остатке - 2000. Если же он закупит товаров на 12000, то останется должен 2000. А в его бухгалтерских записях эта сумма и отразится как отрицательное число -2000.
В Европе их начали применять в 1202 году. Математики Леонард Пизанский, Бомбелли, Жирар считали их пригодными для обозначения недостатка чего-либо, долгов. А вот знаменитый Паскаль отрицал их даже в 17 веке, и до конца жизни продолжал утверждать: "Ничто не может быть меньше, чем ничто (то есть ноль)". Окончательно теория по отрицательным числам была сформирована в 19 веке Уильямом Гамильтоном.
Известные отрицательные числа:
- − 273,15 °C Абсолютный нуль температуры по шкале Кельвина;
- − 1,602 176 565.10 −19 Кл. Величина заряда электрона;
- − 270,85 °C Температура космоса.
Запись отрицательных чисел
До сих пор в математике нет отдельного знака для обозначения отрицательного числа. Традиционно используемый "минус" одновременно является и знаком вычитания. А это алгебраически неверно и иногда вводит в заблуждение. А как было раньше? Например, в Китае для отрицательных чисел были специальные счетные палочки черного цвета и для положительных - красного. В Индии отрицательные числа отмечали красной горизонтальной чертой непосредственно над самим числом.
История возникновения отрицательных чисел очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем-то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования.
Все началось в Китае, примерно во II веке до н.э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.
Первое упоминание отрицательных чисел мы находим в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань.
Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным.
Известны индийские ученые Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII века), которые в своих учениях оставили подробные объяснения работе с отрицательными числами.
А в Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет.
Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты.
Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году.
Леонардо Фибоначчи Леонардо Фибоначчи
Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами».
А в XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля.
Рене Декарт Рене Декарт
С этого времени отрицательные числа стали повсеместно использовать и признавать, хотя еще долгое время многие ученые отрицали их.
В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать.
А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности.
Рожков ТимофейПанферов Матвей
Содержание:
Введение
Основная часть
Что такое «число»?
Отрицательные числа в Египте
Отрицательные числа в Древней Азии
Отрицательные числа в Европе
Современное истолкование отрицательных чисел
Заключение
Cписок литературы
В этом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У нас возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии мы прочитали, что отрицательное число - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля .
В итоге мы решили исследовать историю возникновения отрицательных чисел.
Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных чисел.
Объект исследования – отрицательные числа
История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла.
Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счётными палочками, а отрицательные - синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались, как имущество. Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры. Так, во II в. до н.э. китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество.
Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных.
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» – красным, «фу» – черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.
В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.
Индийский математик Брамагупта в VII в. сформулировал правила
действий над положительными и отрицательными числами.
Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее
признание и современную форму обозначения .
.
В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически
пользовался отрицательными числами, рассматривая их как
«вычитаемые», а положительные как «прибавляемые».
В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться
примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или
сокращенными словами как наименования в именованных числах.
В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в
употребление лишь со времени Французского математика Р. Декарта (1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование
отрицательным числам как направленных отрезков.
В 1637 году он ввел «координатную прямую».
Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию отрицательных чисел, способствовало их признанию.
В В Европе об отрицательных числах первым написал Леонард Пизанский в своей « Книге абака» 1202 году. Изначально они также трактовались, как долг. Но даже несмотря на это в
XVII
веке такой знаменитый учёный как Паскаль считал, что если из ноля вычесть какое-либо положительное число, то в результате получится ноль
.
Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
В 1831 году Гаусс полно обосновал, что отрицательные числа абсолютно равнозначны по правам с положительными, а то, что их можно применить не во всех случаях значения не имеет. История возникновения отрицательных чисел заканчивается в XIX веке, когда Уильям Гамильтон и Герман Грассман создали полную теорию отрицательных чисел. С этого момента начинается история развития данного математического понятия.
Вывод
В своем работе я исследовала историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделала вывод:
Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.
При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:
а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;
б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.
К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.
Все эти множества чисел я постараюсь изучить.
Список литературы
Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.
М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика
Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.
История математики в школе, IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
Википедия. Свободная энциклопедия.
Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.
Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в -300 году нашей эры». А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor - «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.
Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчета и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить.
Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают еще три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 - 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаем одну, у нас остается еще одна. Но что значит 2 - 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я все же могу это сделать - тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба. Это, скорее, ее отсутствие, причем такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.
Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин - правда, в определенной степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в черный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Как показано ниже, китайцы размещали палочки на разграфленной доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из черных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось.
Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин. Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы.
Китайцы раскладывали бамбуковые палочки на разграфленной доске; обычные палочки символизировали положительные числа, черные - отрицательные, что позволяло записывать и решать уравнения
Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст - деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий - отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму.
Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввел число ноль в его современном понимании.
Долг минус ноль -
это долг.
Имущество минус ноль - это имущество.
Ноль минус ноль - это ноль.
Долг, вычтенный из нуля, - это имущество.
Имущество, вычтенное из нуля, - это долг.
И так далее.
Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время.
Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века - и в Испании. Тем не менее понадобилось еще три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе.
Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.
Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа (numeri absurdi) , и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел . Рассмотрим такое уравнение:
С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (-1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (-1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности . Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:
10/3, 10/2, 10/1, 10/(1/2)
Что эквивалентно ряду:
По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значения знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число), дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».
В этом смешении разных мнений прозвучала одна четкая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел . В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось (см. рисунок ниже), на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдет от ноля вперед на пять ярдов, а затем вернется назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто. А значит, -3 - это та же точка на линии, что и +3, но не вперед, как должно быть, а назад».
Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось - самая успешная разъяснительная схема всех времен. У нее множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.
Числовая ось
Немецкий философ Иммануил Кант тоже вступил в полемику по поводу отрицательных чисел, заявив в своем труде Attempt to Introduce the Concept of Negative Quantities into World-Wisdom («Опыт введения в философию понятия отрицательных величин»), что бессмысленно использовать против них метафизические аргументы . Он доказал, что в реальном мире многое может иметь как положительное, так и отрицательное значение, подобно двум противонаправленным силам, воздействующим на объект. Отрицательное число представляет собой не отрицание числа, а скорее, сопоставимое противоположное.
Тем не менее даже в конце XVIII столетия еще оставались математики, глубоко убежденные в том, что отрицательные числа - это «специальный термин, лишенный здравого смысла; но, будучи однажды введенным в оборот, подобно многим другим выдумкам, находит своих самых рьяных сторонников среди тех, кто любит принимать все на веру и не терпит тяжелый труд серьезных размышлений» .
Уильям Френд, второй среди лучших студентов, изучавших математику в Кембридже, написал эти слова в 1796 году в книге, которая стала уникальной в математической литературе: это было введение в алгебру, не содержащее ни единого отрицательного числа.
Когда мы изучаем отрицательные числа в школе, нам не рассказывают всю эту предысторию. Мы принимаем отрицательные числа по аналогии с числовой осью, а затем узнаем поразительную новость:
Минус, умноженный на минус, дает плюс . Вот это да!