Разложение многочлена на множители. Часть 2
В этой статье мы продолжим разговор о том, как раскладывать многочлен на множители. Мы уже говорили о том, что разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов.
Мы уже подробно рассмотрели . В этой статье мы остановимся на четвертом способе, способе группировки.
Если количество слагаемых в многочлене превышает три, то мы пытаемся применить способ группировки . Он заключается в следующем:
1.Группируем слагаемые определенным образом так, чтобы потом каждую группу можно было разложить на множители каким-то способом. Критерий того, что слагаемые сгруппированы верно - наличие одинаковых множителей в каждой группе.
2. Выносим за скобку одинаковые множители.
Поскольку этот способ применяется наиболее часто, разберем его на примерах.
Пример 1.
Решение. 1. Объединим слагаемые в группы:
2. Вынесем из каждой группы общий множитель:
3. Вынесем множитель, общий для обеих групп:
Пример 2.
Разложить на множители выражение: 
1. Сгруппируем последние три слагаемых и разложим на множители по формуле квадрата разности:
2. Разложим получившееся выражение на множители по формуле разности квадратов:
Пример 3. Решить уравнение:
В левой части уравнения четыре слагаемых. Попробуем разложить левую часть на множители с помощью группировки.
1. Чтобы структура левой части уравнения была яснее, введем замену переменной: ,
Получим уравнение такого вида:
2. Разложим левую часть на множители с помощью группировки:
Внимание! Чтобы не ошибиться со знаками, я рекомендую объединять слагаемые в группы "как есть", то есть не меняя знаки коэффициентов, и следующим действием, если необходимо, выносить за скобку "минус".
3. Итак, мы получили уравнение:
4. Вернемся к исходной переменной:
Разделим обе части на . Получим: . Отсюда
Ответ: 0
Пример 4. Решить уравнение:
Чтобы структура уравнения стала более "прозрачной", введем замену переменной:
Получим уравнение:
Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого сгруппируем первое и второе слагаемые и вынесем за скобку :
вынесем за скобку :
Вернемся к уравнению:
Отсюда или ,
Вернемся к исходной переменной:
Понятия "многочлен" и "разложение многочлена на множители" по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.
Понятие многочлена
Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.
Например, 2 * x * y - это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 - многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.
Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.
Группировка (запись в общем виде)
Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй - d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.
Алгоритм разложения на конкретном примере
Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)
В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую - со множителем b. Обратите внимание на знаки + и - в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.
На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку - значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.
В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке - это а, во второй - b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5).
Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c - 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с - 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:
5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).
Итак, полное выражение:
10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5а + 7b).
Таким образом, многочлен 10ас + 14bc - 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c - 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать
Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:
5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:
5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)
Формулы квадратов
Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - формула, получившая название "квадрат суммы", так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
- a 2 - b 2 = (a + b)(а - b) - это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.
Примеры на вычисления по формулам квадратов
Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:
- 25x 2 + 20xy + 4y 2 - используем формулу "квадрат суммы".
- 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху - удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 - это квадрат 2у.
- Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).
Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:
- 25а 2 - 400 = (5а - 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
- 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
- с 2 - 169b 2 = (с - 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2
Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 - это 5 2 , а 10а 4 - это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.
Формулы кубов
Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:
- a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 - ab + b 2) - эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
- a 3 - b 3 = (а - b)(a 2 + ab + b 2) - формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название "куб разности".
Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении - при раскрытии скобок.
Примеры на формулы кубов
Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).
Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 - это (4а) 3 , а 8b 3 - это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.
Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 - это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.
На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.
Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме - прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования - это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова "умножить" сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык...) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Вариантов разложения - бесконечное количество.
Разложение чисел на множители - штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она - необходимая! Чисто для примера:
Упростить:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет - упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х 5 - x 4 = 0
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа - ноль, а слева - не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться... Вот по порядочку и начнём.)
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
a(b+c) = ab+ac
Или, в более общем виде:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
В левой части а - общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
ах+9х
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
ах+9х=х(
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:
Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак "+"! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!
Как так!? - слышу возмущённый глас народа - А в скобках!?)
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть - получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)
х(а+9)=ах+9х
Получилось.)
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками... Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Разложить на множители:
3ах+9х
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
3ах+3·3х
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:
3ах+3·3х=3х(а+3)
Разложили.
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
3ах+9х=х(3а+9)
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.
Продолжаем развлечение?)
Разложить на множители выражение:
3ах+9х-8а-24
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е... Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету... Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же... Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
3ах+9х-8а-24
Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но... Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых - нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )
это будет ошибкой. Справа - уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да...)
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
(3ах+9х)=3х(а+3)
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
(8а+24)=8(а+3)
Всё наше выражение получится:
(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)
Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но... В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком - это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :
3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Добавлю, что группировка - процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь - не падать духом!)
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких...
Упростить:
В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель... Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Пишем результат разложения в числитель дроби:
По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:
Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения - просто нет.
Пример с уравнением:
Решить уравнение:
х 5 - x 4 = 0
Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:
х 4 (x-1)=0
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое... Стало быть:
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно - решать будем точно так же. По кусочкам. Например:
(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0
Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа - ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Решить уравнение:
Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:
lg 4 x=0
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.
Разложение многочлена на множители методом деления
С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно ), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на .
Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени обращается в нуль при . Значит его без остатка можно разделить на , получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:
где A , B , C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:
Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:
Итак, получили:
Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:
где E , F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:
Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:
Тогда получаем:
То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:
В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:
Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.
Разложите многочлен на множители :
Свои ответы пишите в комментариях.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.
1. Применение формул сокращенного умножения
Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,
Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом
2. Вынесение общего множителя за скобку
Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,
Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.
Общим множителем может быть и многочлен в скобках:
При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .
В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…
3. Способ группировки
Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.
4. Использование сразу нескольких способов
Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.
Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту: