С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .
Правила ввода функций :
Необходимое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.Достаточное условие экстремума функции одной переменной
Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x * выполняется условие:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) < 0
То точка x * - локальный (глобальный) максимум.
Пример №1
. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке .
Решение.
Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1
Пример №2
. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; 
, значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.
Пример №3
. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.
Здравствуйте! Ударим по приближающемуся ЕГЭ качественной систематической подготовкой, и упорством в измельчении гранита науки!!! В конце поста имеется конкурсная задача, будьте первым! В одной из статей данной рубрики мы с вами , в которых был дан график функции, и ставились различные вопросы, касающиеся экстремумов, промежутков возрастания (убывания) и прочие.
В этой статье рассмотрим задачи входящие в ЕГЭ по математике, в которых дан график производной функции, и ставятся следующие вопросы:
1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение.
2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции, принадлежащих заданному отрезку.
3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному отрезку.
4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.
5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать длину наибольшего из этих промежутков.
7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.
8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Могут стоять и другие вопросы, но они не вызовут у вас затруднений, если вы поняли и (ссылки указаны на статьи, в которых представлена необходимая для решения информация, рекомендую повторить).
Основная информация (кратко):
1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой же точке.
4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.
Это нужно чётко уяснить и помнить!!!
Многих график производной «смущает». Некоторые по невнимательности принимают его за график самой функции. Поэтому в таких зданиях, где видите, что дан график, сразу же акцентируйте своё внимание в условии на том, что дано: график функции или график производной функции?
Если это график производной функции, то относитесь к нему как бы к «отражению» самой функции, которое просто даёт вам информацию об этой функции.
Рассмотрим задание:
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–2;21).
Ответим на следующие вопросы:
1. В какой точке отрезка функция f (х) принимает наибольшее значение.
На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит функция на этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 7.
Ответ: 7
2. В какой точке отрезка функция f (х)
По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном отрезке производная функции положительна, значит функция на этом отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой). Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, то есть в точке х = 3.
Ответ: 3
3. Найдите количество точек максимума функции f (х)
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется знак.
На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.
На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20) отрицательна.
Таким образом, на заданном отрезке функция имеет две точки максимума х = 6 и х = 18.
Ответ: 2
4. Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку .
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3) производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.
Таким образом, на отрезке функция имеет только одну точку минимума х = 3.
*Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество точек, а не значение х, такую ошибку можно допустит из-за невнимательности.
Ответ: 1
5. Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку .
Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума (это и точки максимума и точки минимума).
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии графике это нули функции. Производная обращается в нуль в точках 3, 6, 16, 18.
Таким образом, на отрезке функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4
6. Найдите промежутки возрастания функции f (х)
Промежутки возрастания данной функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18). Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки – границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26
Ответ: 26
7. Найдите промежутки убывания функции f (х) на заданном интервале. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21).
Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Ответ: 140
*Обращайте внимание в условии: включены ли границы в интервал или нет. Если границы будут включены, то и в рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также необходимо учитывать.
8. Найдите промежутки возрастания функции f (х)
Промежутки возрастания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и (16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.
Ответ: 3
9. Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки убывания функции f (х) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы (–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.
Длина наибольшего равна 10.
Ответ: 10
10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо найти количество точек, в которых у′(х 0) = 2. Геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.
Ответ: 4
11. Найдите точку экстремума функции f (х) , принадлежащую отрезку .
Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является точкой экстремума.
Ответ: 3
12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x) параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите наибольшую из них.
Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.
Можно построить рассуждение таким образом:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это точки 3, 6, 16,18.
Ответ: 18
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3] функция f (х) принимает наименьшее значение.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–6;9].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–13;1].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума функции f (х) , принадлежащих отрезку [–10; –10].
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания функции f (х) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
На рисунке изображен график у = f ′(х) - производной функции f (х) , определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания функции f (х) . В ответе укажите длину наибольшего из них.
F На рисунке изображен график
Условие задачи то же (которую мы рассматривали). Найдите сумму трёх чисел:
1. Сумма квадратов экстремумов функции f (х).
2. Разность квадратов суммы точек максимума и суммы точек минимума функции f (х).
3. Количество касательных к f (х), параллельных прямой у = –3х + 5.
Первый, кто даст верный ответ, получит поощрительный приз – 150 рублей. Ответы пишите в комментариях. Если это ваш первый комментарий на блоге, то сразу он не появится, чуть позже (не беспокойтесь, время написания комментария регистрируется).
Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицих.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?
Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.
Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.
Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.
Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?
Первое условие:
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум
Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.
Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:
Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.
Что такое критическая точка функции и как её найти?
Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.
Для примера найдём экстремум параболы .
Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Производная функции: y?(x) = 6x + 2
Решаем уравнение: y?(x) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3
В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?
Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.
Для рассмотренного примера:
Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1
При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).
Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1
При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).
Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.
Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции
y(x) = 3sin(x) — 0,5х
на интервалах:
Итак, производная функции —
y?(x) = 3cos(x) — 0,5
Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
х = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Находим критические точки на интервале [-9; 9]:
х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)
х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687
х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88
х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)
Находим значения функции при критических значениях аргумента:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885
Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а наименьшее - при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.
Находим значение функции на концах интервала:
y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077
На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции
у = 5,398 при x = -4,88
наименьшее значение —
у = 1,077 при x = -3
Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?
Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.
Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.
Как найти экстремумы функции двух переменных?
Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:
1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности
для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.
Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.
Какой официальный сайт группы "Бандерос"
Сайты русскоязычных хип-хоп исполнителей: mad-a.ru — официальный сайт рэп артистки MAD-A (фотографии, музыка, биография); st1m.ru - официальный сайт рэп исполнителя St1m (музыка, видео, фото, информация о концертах, новости, форум); all1.ru - официальный сайт творческого объединен
В каких случаях инспектор ДПС имеет право останавливать ТС
Исходя из положения пункта 20 статьи 13 Закона «О полиции», инспектор ДПС имеет право останавливать транспортное средство (далее — ТС), если это необходимо для выполнения возложенных на полицию обязанностей по обеспечению безопасности дорожного движения и в др. случаях (см. полный перечень ниже). Если инспектор визуально
Как защитить трудовую книжку от умышленной потери работодателем
Чтобы защитить трудовую книжку от умышленной потери (порчи) работодателем, сотруднику предприятия рекомендуется любыми законными путями получить копию трудовой, например, используя предлог для оформления кредита, и хранить ее в надежном месте. Если недобросовестный работодатель умышленно уничтожит факты трудоустройства сотрудника на его предприятие (во избежание выявления нарушений трудового законодательства во время провед
Где в интернете найти справочную всех телефонов
Сайты «Жёлтых страниц» в интернете: yellow-pages.ru — онлайн журнал справочной информации «Yellow pages»; ypag.ru — жёлтые страницы СНГ; yellowpages.rin.ru — жёлтые стра
Сколько градусов в радиане
1 минута дуги (1′) = 60 секунд дуги (60″) 1 угловой градус (1°) = 60 минут дуги (60′) = 3600 секунд дуги (3600″) 1 радиан ≈ 57,295779513° ≈ 57°17&prim
Музыка - это вид искусства. Средством передачи настроения и чувства в музыке служат специально организованные звуки. Основными элементами и выразительными средствами музыки являются: мелодия, ритм, метр, темп, динамика, тембр, гармония, инструментовка и другие. Музыка является очень хорошим средством воспитания художественного вкуса у ребенка. Музыка способна влиять на настроение,
В каких странах проводились гран-при Формулы 1 в 2005 году
В 2005 году чемпионат мира состоял из 19 гран-при, которые проводились в следующих странах: Австралия, Малайзия, Бахрейн, Сан-Марино, Испания, Монако, Канада, США, Франция, Великобритания, Германия, Венгрия, Турция, Италия, Бельгия, Бразилия, Япония, Китай. Гран-при Европы проводился в Германии (Нюрбург).Подробнее на сайте http:/
Что такое алоказия
Алоказия (Alocasia) Семейство ароидных. Родина Южная Америка. Редкое растение любящее тепличные условия (влагу и тепло) и поэтому не получившее широкого распространения среди цветоводов. Алоказия красивое комнатное растение, с крупными стреловидно-овальными (или сердцевидными) листьями, которых бывает не более 6-7. Самые распространенные в
Что означает фраза "Этот цветочек мы уже нюхали"
Фраза «Этот цветочек мы уже нюхали» употребляется в том же значении, что и известный фразеологизм «Дважды наступить на одни и те же грабли», т.е. столкнуться с уже знакомой неприятной ситуацией. Это выражение встречается в фельетоне Ильи Ильфа «Молодые дамы» (1929) в следующе
Где найти рецепт панна котты
Панна котта (Panna cotta) — это нежнейший соблазнительный десерт из сливок и желатина, который готовят в Италии, регионе Эмилия-Романья. Дословно название десерта переводится как «вареный крем» или «вареные сливки», но по существу это кремовый пудинг без или с различными добавками.
Чему равен косинус 90 градусов
Косинус — одна из тригонометрических функций, обозначется cos. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла (прилежащего катета), к гипотенузе.Значения косинусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень ква
77419.Найдите точку максимума функции у=х 3 –48х+17
Найдем нули производной:
Получим корни:
Определим знаки производной функции подставляя значения из интервалов в полученную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
Получили, что в точке –4 производная меняет свой знак в положительного на отрицательный. Таким образом, точка х=–4 это искомая точка максимума.
Ответ: –4
77423. Найдите точку максимума функции у=х 3 –3х 2 +2
Найдём производную заданной функции:
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
В точке х=0 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть точка максимума.
77427. Найдите точку максимума функции у=х 3 +2х 2 +х+3
Найдём производную заданной функции:
При равняем производную к нулю и решим уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке интервалы возрастания и убывания функции подставляя значения из каждого интервала в выражение производной:
В точке х=–1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: –1
77431. Найдите точку максимума функции у=х 3 –5х 2 +7х–5
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
3х 2 – 10х + 7 = 0
3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
77435. Найдите точку максимума функции у=7+12х–х 3
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
12 – 3х 2 = 0
Решая квадратное уравнение получим:
*Это точки возможного максимума (минимума) функции.
Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:
12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
12 – 3∙0 2 = 12 > 0
12 – 3∙3 2 = –15 < 0
В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.
77439. Найдите точку максимума функции у=9х 2 –х 3
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
18х –3х 2 = 0
3х(6 – х) = 0
Решая уравнение получим:
*Это точки возможного максимума (минимума) функции.
Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:
18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0
В точке х=6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.