Уравнение
где ортогональные декартовы координаты, называют уравнением Лапласа. Выражение, стоящее в левой его части, называют лапласианом функции и, а правило, по которому образуется выражение, - оператором Лапласа. Оператор Лапласа принято обозначать символом вследствие чего уравнение (1) может быть записано в форме
Неоднородное уравнение
где заданная функция, называют уравнением Пуассона.
Вид дифференциальных выражений в левых частях уравнений Лапласа и Пуассона одинаков во всех ортогональных декартовых координатах. При переходе к криволинейным координатам он изменяется и может быть, для ортогональных криволинейных координат, определен с помощью соотношений § 7 предыдущей главы. В частности, используя формулы (54), (48) и (49) гл. XVIII найдем, что в цилиндрических координатах
в сферических координатах
К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят многочисленные задачи теории теплопроводности, электростатики, гидродинамики и т. д. Рассмотрим, например, постановку некоторых задач для уравнения Лапласа.
1. Задача о стационарном тепловом состоянии однородного тела. Допустим, что мы имеем некоторое
изолированное от внешнего пространства однородное изотропное тело, тепловое состояние которого не меняется с течением времени. Обозначим через V занятую им часть пространства, через его поверхность, а через и температуру в точке
Докажем, что во всякой внутренней точке х взятого нами тела функция удовлетворяет уравнению Лапласа.
С этой целью выделим из тела некоторую область ограниченную произвольно взятой поверхностью и рассмотрим количество тепла, которое проходит в единицу времени через элемент поверхности. Согласно принципу Фурье, оно пропорционально площади элемента и нормальной производной где через обозначено направление внешней нормали к поверхности. Другими словами, это количество тепла равно произведению
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом внутренней теплопроводности тела.
Рассмотрим движение тепла в теле. Из термодинамики известно, что тепло течет от точек с большей температурой к точкам с меньшей температурой. Следовательно, при отрицательной производной поток тепла будет происходить из внутренней части тела, ограниченной поверхностью в область, внешнюю по отношению к этой поверхности. Если же указанная производная положительна, то распространение тепла будет представлять обратную картину.
Отсюда вытекает, что двойной интеграл
дает алгебраическую сумму количества тепла, прошедшего за единицу времени через поверхность причем вытекающему теплу приписывается отрицательный знак, а втекающему - положительный.
Если предположить, что внутри тела отсутствуют как источники тепла, так и точки его поглощения, то интеграл (5) должен равняться нулю. Действительно, если бы это было не так, то тепло накапливалось бы или терялось внутри тела, и, следовательно, температура тела изменилась бы с течением времени, что противоречит предположению о неизменности теплового состояния тела.
Итак, в данном случае должно иметь место следующее равенство:
Применим в области формулу Грина (7) гл. XVIII:
и положим в ней
Тогда, приняв во внимание, что интеграл (5) равен нулю, найдем, что
Отсюда, ввиду произвольности области вытекает, что
т. е. функция удовлетворяет уравнению Лапласа.
Предположим теперь, что нам известно распределение температуры на поверхности тела и мы желаем определить температуру любой точки, находящейся внутри тела.
Очевидно, мы решим эту задачу, если найдем такое решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяло бы граничному условию
где обозначает температуру в точке х поверхности
2. Задача о равновесии электрических масс на поверхности проводника. Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой электрических зарядов. Если заряды расположены дискретно в точках то потенциал поля в точке х
где расстояние от заряда до точки х. Если же заряды непрерывно распределены на некоторой линии или поверхности или в объеме У, то потенциал поля соответственно выражается одним из интегралов:
где расстояние от элемента линии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих формулах величины обозначают линейную, поверхностную или объемную плотность зарядов:
где заряд элемента линии L (поверхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.
Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой - проводником, т. е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, а остальная часть пространства - диэлектриком, т. е. средой, в которой движение зарядов невозможно.
В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области V, включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению Лапласа:
Внутри проводника заряды разных знаков должны быть взаимно нейтрализованы. В самом деле, оставшиеся внутри проводника избыточные заряды какого-либо знака под действием отталкивания между одноименными зарядами перемещались бы до тех пор, пока все они не оказались бы на границе проводника и не распределились на ней должным образом. Следовательно, если достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе проводника в виде бесконечно тонкого электрического слоя.
Потенциал этого слоя в точке выражается интегралом:
где расстояние от переменной точки поверхности проводника до точки х.
Если точка х находится вне проводника, то функция у удовлетворяет уравнению Лапласа. В самом деле,
Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал и, определяемый формулой (12). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к интегралу (12) правило дифференцирования по параметру, что мы имеем право сделать, так как, по
предположению, точка х находится вне поверхности следовательно, подынтегральная функция в выражении (12) нигде не обращается в бесконечность.
Итак, в каждой точке х, лежащей вне проводника, потенциал и также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Обратимся теперь к выяснению обстоятельств, имеющих место в бесконечно удаленных точках пространства, заполненного диэлектриком, и на самой поверхности проводника.
Как мы это выясним ниже, интеграл (12) обращается в бесконечно удаленных точках в нуль (вместе со своими частными производными первого порядка), и притом так, что произведения
остаются ограниченными, когда расстояние от точки х до начала координат увеличивается до бесконечности. Что касается обстоятельств, имеющих место на поверхности проводника, то будет доказано, что потенциал и остается ограниченным и непрерывным при переходе точки х через поверхность проводника. Напротив, нормальные производные потенциала и при таком переходе претерпевают конечный разрыв непрерывности, причем этот разрыв характеризуется равенством
где предельные значения выражения
при приближении точки х к точке соответственно по внутренней и внешней нормали к в точке
Воспользуемся равенством (13) для постановки так называемой электростатической задачи: найти плотность электрического слоя, непрерывно распределенного на поверхности данного проводника, если последний находится в состоянии электрического равновесия.
Допустим, что для данного проводника такое состояние наступило. Тогда, по данным выше разъяснениям, потенциал внутри проводника будет величиной постоянной, и, следовательно, будет иметь место равенство
Из этого равенства и из формулы (13) вытекает, что
т. е. искомая плотность слоя будет найдена, если мы определим потенциал и этого слоя в точках, лежащих вне проводника.
Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}Также и в n -мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.
Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 + . . . {\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+...}- Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример - см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах".
Другие формы уравнения Лапласа
1 r 2 ∂ ∂ r (r 2 ∂ f ∂ r) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ (sin θ ∂ f ∂ θ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}
Особые точки r = 0 , θ = 0 , θ = π {\displaystyle r=0,\theta =0,\theta =\pi } .
1 r ∂ ∂ r (r ∂ u ∂ r) + 1 r 2 ∂ 2 u ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}=0}Особая точка .
1 r ∂ ∂ r (r ∂ f ∂ r) + ∂ 2 f ∂ z 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle {1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0}Особая точка r = 0 {\displaystyle r=0} .
Применение уравнения Лапласа
Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение оператор Лапласа имеет в квантовой физике, в частности в уравнении Шрёдингера .
Решения уравнения Лапласа
Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.
Общее решение
Одномерное пространство
f (x) = C 1 x + C 2 {\displaystyle f(x)=C_{1}x+C_{2}}где C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} - произвольные постоянные.
Двумерное пространство
Уравнению Лапласа на двумерном пространстве удовлетворяют аналитические функции. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и класс решений уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.
Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде
φ x x + φ y y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.}Аналитические функции
Если z = x + iy , и
f (z) = u (x , y) + i v (x , y) , {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}то условия Коши - Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f (z ) была аналитической:
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},~{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}И вещественная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия
ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2010, том 48, № 2, с. 193-197
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
УДК 532.6:004.932
УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЛЕЖАЩЕЙ КАПЛИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
© 2010 г. Л. Б. Директор, В. М. Зайченко, И. Л. Майков
Объединенный институт высоких температур РАН, Москва Поступила в редакцию 25.05.2009 г.
Разработана усовершенствованная методика обработки изображений меридионального сечения капли жидкости, полученных при реализации метода лежащей капли для определения поверхностного натяжения жидкости. Методика обеспечивает сканирование цифрового изображения капли, численное решение уравнения Юнга-Лапласа, а также расчет поверхностного натяжения, краевого угла смачивания и объема капли.
ВВЕДЕНИЕ
Метод лежащей (висящей) или неподвижной капли считается наиболее надежным статическим методом для изучения поверхностного натяжения металлических расплавов, солевых, полимерных и других жидкостей .
Статические методы основаны на решении дифференциального уравнения Юнга-Лапласа. Приближенные решения этого уравнения получены многими авторами, и наиболее распространенный способ определения коэффициента поверхностного натяжения основан на использовании таблиц Башфорта и Адамса . Существующие эмпирические зависимости по своей сути являются аппроксимацией этих таблиц. Недостатками таких методов являются невысокая точность, а также ограничения, связанные с размерами капли. Геометрические параметры капли определяются путем обмера ее фотографического изображения с помощью измерительного микроскопа. Процесс обмера достаточно трудоемок, а его результаты содержат погрешность, связанную с индивидуальными особенностями наблюдателя.
Целью настоящей работы является создание быстродействующего программного комплекса, позволяющего обрабатывать цифровое изображение капли и проводить оптимизационную процедуру для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости с использованием как метода лежащей, так и метода отрыва капли (висящей капли). В основе методики лежит идеология численного интегрирования уравнения Юнга-Лапласа, представленная в работе .
МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАПЛИ
Исходная информация представляет собой графический файл в стандартном точечном фор-
мате BitMaP (BMP), который содержит изображение меридионального сечения капли. Изображение имеет черно-белую палитру с градацией серого цвета от белого до черного (в шестнадцате-ричном представлении от 000000 до FFFFFF) в RGB-цвете (рис. 1).
Определение точной границы изображения представляет собой отдельную задачу. Имеются достаточно сложные алгоритмы, основанные на методе функции уровня (level set function) и требующие решения уравнений гиперболического типа в частных производных. В настоящей работе для упрощения численных расчетов используется простой алгоритм, описанный ниже, и оценивается его точность.
На первом этапе обработки серое изображение переводится в черно-белое монохромное следующим образом. Выбирается среднее значение цвета из палитры цветов (в шестнадцатеричном представлении это соответствует цвету 888888). Дальнейший процесс обработки заключается в
Рис. 1. Изображение капли на подложке (формат ВМР).
сканировании изображения по каждому пикселю. Все пиксели со значением цвета меньше граничного изменяют свое значение на белый цвет, больше граничного - на черный, в результате чего определяется граница белого и черного цветов и, соответственно, координаты точек контура изображения (рис. 2).
Выбор граничного цвета при переводе изображения из серого в монохромное вносит определенную ошибку в результат, что иллюстрирует кривая зависимости относительного объема эталона (калиброванного стального шарика) от выбора граничного цвета (рис. 3).
При выборе пятой части полной палитры (цвета палитры от 666666 до ЛЛЛЛЛА в шестнадцате-ричном представлении соответствуют цветам от 1 до 4 на рис. 3) относительная погрешность определения объема составляет 0.2%. Цвету палитры 888888 (середина полной палитры) соответствует значение 3 по оси абсцисс и относительный объем, равный 1.
Относительный объем 1.0010
Граница разделения цвета
Рис. 3. Зависимость относительного объема эталона от выбора граничного цвета.
ЧИСЛЕННАЯ ПРОЦЕДУРА ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЯ КАПЛИ
Форма капли, лежащей на подложке (рис. 4), удовлетворяет уравнению Юнга-Лапласа
(l + У "2)3/2 У (1 + У
Капиллярная постоянная; ст - ко-
эффициент поверхностного натяжения; Н - высота капли; [х, у(х)] - координаты границы меридионального сечения капли (см. рис. 4); Я0 - радиус кривизны в верхней точке капли; Ар - разность плотностей жидкости и окружающего газа.
Для численного решения уравнения (1) проведем его параметризацию х = х(1),
Здесь I - длина дуги кривой от вершины капли до точки с координатами х(1), у(1). Тогда уравнение Юнга-Лапласа в параметрической форме запишется в виде
v a y Ro н - x + x + _2_
A y Roy с начальными условиями x(0) = H, y(0) = 0, x(0) = 0, y(0) = -1.
Рис. 4. Меридиональное сечение лежащей капли.
усовершенствованный метод лежащей капли
Система двух дифференциальных уравнений второго порядка (2) представима в виде системы четырех уравнений первого порядка
и = -v + ä + 2
" H - x , ü , 2 v = ü |-2--1---1--
с начальными условиями x(0) = H, y(0) = 0,
и (0) = 0, v (0) = -1.
Для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3) использовался численный метод решения жестких дифференциальных уравнений - линейный многошаговый метод с автоматическим выбором шага, реализованный в алгоритме DIFSUB .
При обработке данных, полученных в методе лежащей капли (отрыва капли), решается обратная задача определения капиллярной постоянной а2, высоты капли Hи ее радиуса кривизны R с использованием зависимости радиуса окружности горизонтального сечения капли от расстояния этого сечения до подложки.
Рассмотрим функционал, представляющий сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от расчетной кривой
L = К - X;)2 + (Уе1 - У,)2),
где (хе, уе) - координаты экспериментальных точек, (х, у) - координаты расчетных точек.
Расчетные точки (х;, у() являются функциями параметров а1= а2, а2 = Н, а3= Я0:
xi - xi(t, a1 a2, a3),
yt - y,(h, ai, a2, a3). Разложим (5) в ряд Тейлора в окрестности точ-
ки (a1, a2, a3)
xt = x (t , a°, a°, a°) + dXi Aa1 + dXt Aa2 + dXi Aa3,
yl = y,(ti, ai1, a°, a°) + ^ Aai + Aa2 + Aay
Для нахождения минимума функционала (4) должны выполняться условия
Подставив (4) в (6) и продифференцировав, систему уравнений (7) можно записать в виде
Xei - xi - dx- Aai - dx- Aa2 - dx- Aa3)) +
+ | yei - у, -дУ Aai -f* Aa2 -f* Aa3))
öa1 öa2 öa3 jda1_
xei - x, - ^Дв1 -О*!.дa2 -§xlAa3- +
yei- y, -йУ. Да, - Дa1 - & Дaз -
da1 da2 da3)da2j
dx. 5x- 5x- 15x-xei - xi --LД^ --LДa2 --LДaз - +
yei- yt -dR Дa1 -M Дa2 -^У- Дa3 -
dxt dxt + dyt dyt =1 dak da, dak da,
I| (xei-xi)f + (yei - у, fi|, V da, da, 1
I I dxL dx± + dy_ dyj_
t dak da, dak da,
k = 1| i = 1 k 2 k 2.
I| (xei-x,)f* + (yei - У,)f |,
I I dxj_ dxi + dy_ dy_
Dak da3 dak da3 k = 1V i = 1 k 3 k 3 У
I| (xei- x, + (yei - У,)f
Для решения системы уравнений (8) необхо-
димо вычислить частные производные вида
(6) , Где I = 1-^, к = 1-3. Так как аналитические
зависимости (4) от параметров а1 неизвестны, частные производные определяются численно.
Новые значения ак (где к = 1-3) рассчитываются через найденные значения Аак по формуле
0 0 , . ak = ak + Aak
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ
Для численного решения системы уравнений (8) разработан следующий алгоритм.
ДИРЕКТОР и др.
Рис. 5. Форма капли воды в методе лежащей капли: 1 - опытные точки; 2 - расчет с использованием оптимизационной процедуры.
1. Задание начального приближения (a0, a0, a0) в предположении, что форма капли приближенно описывается эллипсом с полуосями, равными высоте капли и максимальному радиусу окружности горизонтального сечения.
2. Задание малых отклонений (Aab Aa2, Aa3).
3. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных значениях (a0, a0, a0). Получение 1-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xn и уп с использованием алгоритма вычисления параметров кубической сплайн-функции SPLINE .
4. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных значениях (a0 + Aa1, a0, a0). Получение 2-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi2 и yi2 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 2-го решений
дх1 = Xg - хп dy1 = y2 - yn. da1 Aa1 da1 Aa1
5. Решение системы уравнений (3) с использованием алгоритма DIFSUB при заданных (a0, a0 +
Aa2, a0). Получение 3-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi3 и yi3 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 3-го решений
дX = Xз - х/1 ? д!± = Уа - У/1. da2 Aa2 da2 Aa2
6. Решение системы уравнений (3) с использо-
a3 + Aa3). Получение 4-го численного решения. Определение функциональных зависимостей xi4 и yi4 с использованием алгоритма SPLINE. Вычисление производных с использованием 1-го и 4-го решений
дХ/ = X/4 - Xj 1 dyl = У/4 - У/1.
7. Вычисление коэффициентов системы (8) и ее решение с использованием алгоритма решения системы линейных уравнений SOLVE . Получение (Aab Aa2, Aa3).
8. Вычисление новых значений параметров по формуле (9)
ванием алгоритма DIFSUB
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст
КАШЕЖЕВ А. З., КУТУЕВ Р. А., ПОНЕЖЕВ М. Х., СОЗАЕВ В. А., ХАСАНОВ А. И. - 2012 г.
ПОНОМАРЕВА М.А., ЯКУТЕНОК В.А. - 2011 г.
В методе лежащей капли жидкость с известным поверхностным натяжением помещается на твердую поверхность с помощью шприца. Диаметр капли должен быть от 2 до 5 мм; это гарантирует, что краевой угол не будет зависеть от диаметра. В случае очень малых капелек будет велико влияние поверхностного натяжения самой жидкости (будут формироваться сферические капли), а в случае больших капель начинают доминировать силы гравитации.
В методе лежащей капли измеряется угол между твердой поверхностью и жидкостью в точке контакта трех фаз. Соотношение сил межфазного и поверхностного натяжения в точке контакта трех фаз может описываться уравнением Юнга, на базе которого можно определить краевой угол:
 |
Частным случаем является метод "плененного пузырька": краевой угол измеряется под поверхностью в жидкости.
Изначально измерения проводились с помощью гониометра (ручного прибора для измерения контактного угла) или микроскопа. Современные технологии позволяют записать изображение капли и получить все необходимые данные с помощью программ .
Статический краевой угол
При статическом методе размер капли не меняется в течение всего измерения, но это не означает, что угол контакта всегда остается постоянным. Наоборот, воздействие внешних факторов может привести к изменению угла контакта со временем. Из-за седиментации, испарения и аналогичных химических или физических взаимодействий краевой угол будет самопроизвольно изменяться со временем.
С одной стороны, статический краевой угол не может абсолютно оценить свободную энергию твердой поверхности , а с другой, он позволяет охарактеризовать временную зависимость таких процессов как высыхание чернил, нанесение клея, абсорбцию и адсорбцию жидкостей на бумаге.
Изменение свойств во времени (растекание капли) зачастую мешают исследованиям. В качестве источника ошибки также может выступить пятнышко, царапина на образце, любая неоднородная поверхность будет иметь отрицательный эффект в точности измерения, что может быть сведено к минимуму в динамических методах.
Динамический краевой угол
При измерении динамического контактного угла игла шприца остается в капле, и ее объем изменяется с постоянной скоростью. Динамический угол контакта описывает процессы на границе твердое тело/жидкость во время увеличения объема капли (натекающий угол) или при уменьшении капли (оттекающий угол), т.е. во время смачивания и осушения. Граница не образуется мгновенно, для достижения динамического равновесия требуется время. Из практики рекомендуется устанавливать поток жидкости 5 - 15 мл/мин, более высокая скорость потока будет только имитировать динамические методы. Для высоковязких жидкостей (например, глицерина), скорость формирования капли будет иметь другие пределы.
Натекающий угол.
Во время измерения натекающего угла игла шприца остается в капле на протяжении всего опыта. Сначала на поверхности образуется капелька диаметром 3-5 мм (при диаметре иглы 0,5 мм, которая используется фирмой KRUSS), а потом она расплывается по поверхности.
В начальный момент угол контакта не зависит от размера капли, т.к. сильны силы сцепления с иглой. При определенном размере капли угол контакта становится постоянным, и именно в этот момент надо проводить измерения.
Этот тип измерения имеет наибольшую воспроизводимость. Натекающие углы обычно измеряют для определения свободной энергии поверхности .
Оттекающий угол.
Во время измерения оттекающего угла размер капли уменьшается, т.к. поверхность осушается: большая капля (приблизительно 6 мм в диаметре) помещается на поверхность и затем медленно уменьшается за счет всасывания через иглу.
По разнице между натекающим углом и оттекающим углом можно сделать заключение о неровностях поверхности или ее химической неоднородности. Оттекающий угол НЕ подходит для расчета СЭП.
Методы оценки формы лежащей капли
Метод Юнга-Лапласа. Наиболее трудоемкий, но и наиболее точный метод расчета краевого угла. В этом методе при построении контура капли учитываются поправки на то, что не только межфазные взаимодействия разрушают форму капли, но и собственный вес жидкости. Эта модель предполагает, что форма капли симметрична, поэтому она не может использоваться для динамических краевых углов. Для натекающей капли краевой угол также может быть определен только до 30°.
Метод длины-ширины. В этом методе оценивается длина растекания капли и ее высота. Контур, являющийся частью окружности, вписывают в прямоугольник и рассчитывают краевой угол из соотношения ширины и высоты. Данный метод более точен для мелких капель, формы которых ближе к сфере. Не подходит для динамического краевого угла, т.к. игла остается в капле и нельзя точно определить высоту капли.
Метод круга. В этом методе капля представляется как часть круга, как и в методе длины-ширины, однако краевой угол рассчитывается не с помощью прямоугольника, а с помощью сегмента окружности. Но в отличии от метода длины-ширины игла, оставшаяся в капле, меньше влияет на результаты измерения.
Тангенциальный метод 1. Полный контур лежащей капли подгоняется к уравнению конического сегмента. Производная этого уравнения в точке пересечения контура и базовой линии дает угол наклона в точке контакта, т.е. краевой угол. Этот метод может использоваться с динамическими методами оценки в том случае, если капля не сильно разрушается иглой.
Тангенциальный метод 2. Часть контура лежащей капли, расположенной рядом с базовой линией, адаптирована к функции полинома типа y=a + bx + cx 0,5 + d/lnx + e/x 2 . Эта функция получилась в результате многочисленных математических моделирований. Метод считается точным, но чувствительным к загрязнениям и посторонним веществам в жидкости. Подходит для определения динамических краевых углов, но он требует четкого построения изображений, особенно в точке контакта фаз.
Метод лежащей капли (sessile drop) реализован в приборах для измерения краевого угла DSA , которые широко используются в лабораториях для изучения свойств поверхностей. Данные приборы также позволяют измерить поверхностное и межфазное натяжение жидкостей